​不定积分

不定积分

1.原函数的定义

设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在函数F(x)，使得对于区间I中任一x，均有F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数。

2.不定积分的定义

函数f(x)在区间I上的原函数的全体，称为f(x)在区间I上不定积分，记为∫f(x)dx。

∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。

3.原函数与不定积分的关系

设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则∫f(x)dx=F(x)+C

其中C为常数，称为积分常数，如∫x²dx=x³/3+C

4不定积分的几何意义

设F(x)为f(x)的一个原函数，则y=F(x)的图形为f(x)的一条积分曲线，于是函数f(x)的不定积分∫f(x)dx=F(x)+C表示平行于y=F(x)的曲线族(曲线F(x)沿y轴方向平移而得)。显然，若在每一条积分曲线横坐标相同的点处作切线，则它们互相平行。

5原函数存在定理

若函数f(x)在区间I上连续，则该函数在I上存在原函数F(x),即该函数在这个区间上存在不定积分。